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0 引言

目前氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥在航空產(chǎn)品測(cè)試臺(tái)中的應(yīng)用十分廣泛，一種常見的應(yīng)用見圖1所示。

圖1 氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥用于氣體壓力控制框圖

然而，實(shí)際工程中使用PI算法對(duì)這類對(duì)象控制時(shí)，控制精度不高，其中一個(gè)具體的表現(xiàn)是測(cè)壓點(diǎn)的壓力容易出現(xiàn)波動(dòng)。

為解決工程中控制精度不高的問題，應(yīng)首先建立控制對(duì)象的一個(gè)合適的模型。

研究了氣動(dòng)薄膜閥的結(jié)構(gòu)與執(zhí)行機(jī)構(gòu)工作原理，在給出氣動(dòng)薄膜閥的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上發(fā)展了一個(gè)動(dòng)態(tài)仿真模型，研究了運(yùn)動(dòng)閥芯動(dòng)態(tài)不平衡力，以理想氣體特性為基礎(chǔ)，分別建立了減壓閥充填過程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和減壓器工作過程的數(shù)學(xué)模型。

這些文獻(xiàn)沒有作出關(guān)于圖1所示系統(tǒng)的模型，但可作為展開進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)。

為便于對(duì)工程問題進(jìn)行分析與仿真，以獲得線性系統(tǒng)模型為目標(biāo)展開研究工作。

1 氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥控制模型

描述了氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥的基本結(jié)構(gòu)及工作原理（見圖2所示），可以將理想狀態(tài)下的氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)看作是質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)，給出了它的動(dòng)態(tài)方程：

 （1）

式中：m，k，g是常數(shù)，實(shí)際上，令，有

 （2）

圖2 氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥

進(jìn)一步考慮式（2）中的摩擦力f，作為動(dòng)摩擦力可以與式中阻尼項(xiàng)合并。另外，還要考慮系統(tǒng)的靜摩擦力f₀，于是得到垂直安裝時(shí)調(diào)節(jié)閥的運(yùn)動(dòng)方程：

 （3）

式中：m＞0：與執(zhí)行閥桿剛性連接的運(yùn)動(dòng)部件總質(zhì)量，η＞0：運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù)，k＞0：彈簧的彈性系數(shù)，x：閥桿位移，f_s：信號(hào)壓力在薄膜上產(chǎn)生的推力，f_t：調(diào)節(jié)閥所控流體在閥芯上的壓力差產(chǎn)生的不平衡力。

由式（3），令，得到氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥模型在時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

 （4）

結(jié)論1：時(shí)，氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥控制模型是能控且能觀的。

證明：令式（4）中系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣分別為A，B，C，則

rankM＝2，因此式（4）表達(dá)的系統(tǒng)是能控的。

rankN＝2，因此式（4）表達(dá)的系統(tǒng)是能觀的。

氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥工作時(shí)f_t受流體動(dòng)壓的影響。指出在閥芯作勻速運(yùn)動(dòng)、進(jìn)口流速固定、進(jìn)出口壓差固定等特定條件下，f_t與閥開度存在著關(guān)系，但這些關(guān)系是難以用解析式表達(dá)的，而且，在更一般的條件下，f_t的變化規(guī)律很難掌握。因此，將f_t看做輸入向量中的擾動(dòng)分量。可將式（4）進(jìn)一步寫為：

 （5）

結(jié)論2：當(dāng)，且將f_t固定為某個(gè)值時(shí)，氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥控制模型是能控且能觀的。

證明：在式（2－4＊）中令f_t＝δ（δ是常數(shù)），有

將（f_s－δ）看做控制輸入，使用結(jié)論1的證明方法即可得證。

式（4）中y表示調(diào)節(jié)閥的閥桿位置輸出，它決定調(diào)節(jié)閥提供給流體的流通面積S，根據(jù)不同形狀的閥芯，S與y有不同的函數(shù)關(guān)系，對(duì)于具有某種流量特性的調(diào)節(jié)閥來說，這個(gè)關(guān)系是確定的，可以一般性地設(shè)為S＝S（y）。

2 管道中流動(dòng)氣體壓力模型

設(shè)圖1中進(jìn)口壓縮空氣壓力為p₁，出口壓力為p₃，測(cè)壓點(diǎn)壓力為p₂，調(diào)節(jié)閥流通面積為S₁，用氣設(shè)備消耗氣體時(shí)等效流通面積為S₂，節(jié)流嘴流通面積為常數(shù)S₀，并給出以下假設(shè)：

假設(shè)1：圖1系統(tǒng)滿足下列條件：

（1）工作氣體為理想氣體；

（2）氣體比熱比為常數(shù)；

（3）各容腔內(nèi)溫度場(chǎng)和壓力場(chǎng)分布均勻；

（4）氣體的流動(dòng)為等熵流動(dòng)；

（5）p₁＞p₂＞p₃總是成立。

在假設(shè)1的條件下，得到測(cè)壓點(diǎn)壓力動(dòng)態(tài)方程：

 （6）

式中：V＞0：管道容積，K＞1：氣體比熱比，介質(zhì)是理想氣體時(shí)等于絕熱指數(shù)，R＞0：氣體常數(shù)，C₁，C₂：流量系數(shù)，與氣體節(jié)流處前后的壓差有關(guān)，α₁，α₂：容腔內(nèi)聲速，與容腔內(nèi)的氣體溫度有關(guān)，g₂₁，g₃₂由關(guān)系式表達(dá)：

當(dāng)時(shí)，

 （7）

當(dāng)時(shí)，

 （8）

式中：（i，j）=（2，1），（3，2）。

顯然，方程（3-1）是一個(gè)非線性系統(tǒng)。

因p_i＜p_j，K＞1，故式（3－2）中g(shù)_ij關(guān)于單減，于是當(dāng)時(shí)，

 （9）

式中：（i，j）＝（2，1），（3，2）。

設(shè)，將式（6）寫成

 （10）

為了避免過于復(fù)雜的討論，以工程實(shí)際為基礎(chǔ)給出一個(gè)假設(shè)。

如圖1所示的系統(tǒng)在實(shí)際工程中可以通過恰當(dāng)?shù)牟考x擇與調(diào)整，使當(dāng)進(jìn)口壓縮空氣壓力和氣體消耗穩(wěn)定，調(diào)節(jié)閥開度固定在某個(gè)位置時(shí)，測(cè)壓點(diǎn)壓力恒定。于是有：

假設(shè)2：至少存在一個(gè)（p₁，S₁，S₂）的取值，使方程（3－5）中p₂＞0且＝0。

顯然，若有一組值p'₁，S'₁，S'₂，p'₂使假設(shè)2成立，則：

 （11）

是方程（10）的一個(gè)靜態(tài)解，從而：

（1）可設(shè)此時(shí)的α₁＝S'₂，β1＝p'₁。此時(shí)各容腔的壓力恒定，由C₁，C₂及α₁，α₂含義與特性，故可設(shè)此時(shí)的C1，C2及α₁，α₂分別為常數(shù)β₂，α₂和β₃，α₃。于是，對(duì)于式（10），有：

式中：Δα_i，Δβ_i（i＝1，2，3）為對(duì)應(yīng)常參數(shù)α_i，β_i（i＝1，2，3）的攝動(dòng)。

（2）設(shè)。當(dāng)p₁，p₂滿足式（8）條件時(shí)，g₂₁＝β‘₄為常數(shù)。當(dāng)p₁，p₂滿足式（7）條件時(shí)，

由式（9）可得g₂₁＝β’₄+Δβ‘₄（-β’₄＜Δβ‘₄＜0）。從而，在假設(shè)2條件下，總可以找到一個(gè)固定的β₄∈（0，β’₄），使此時(shí)的g₂₁＝β₄。同理，可找到一個(gè)固定的α₄∈（0，α‘₄），使此時(shí)的g₃₂＝α₄。于是對(duì)于式（10），有：

g₃₂＝α₄＋Δα₄，g₂₁＝β₄＋Δβ₄

式中：Δα₄，Δβ₄是對(duì)應(yīng)常參數(shù)α₄，β₄的攝動(dòng)。

設(shè)：

得：

再令p＝p₂，u_s＝S₁，有：

 （12）

這是一個(gè)具有不確定性的被控對(duì)象，式中Δa、Δb分別是a、b的不確定性。由前面的分析知，a＜0，b＞0。

3 綜合模型討論

由圖1給出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及式（5）和（12），可以得到：

結(jié)論4－1：滿足條件及假設(shè)3-1、3-2時(shí)，氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥控制于氣體壓力可由一組含不確定性的線性系統(tǒng)模型表示：

 （13）

更進(jìn)一步，討論氣動(dòng)薄膜閥閥桿位置與流體流通面積為線性關(guān)系的情況，即令u（x₁）＝λx₁（λ＞0為常數(shù)）。再令p＝x₃，由式（13）可得下面結(jié)論。

結(jié)論4-2：當(dāng)滿足條件及假設(shè)3-1、3-2，并且氣動(dòng)薄膜閥閥桿位置與流體流通面積為線性關(guān)系時(shí)，氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥控制氣體壓力時(shí)含有不確定性的線性系統(tǒng)模型表示為：

 （14）

式中：y_p表示系統(tǒng)輸出，為圖1測(cè)壓點(diǎn)壓力，其余符號(hào)同前面討論中的定義。

結(jié)論4-3：將f_t固定為某個(gè)值且不確定性Δα=Δb=0時(shí)，結(jié)論4-2給出的系統(tǒng)是控并且是能觀的。

證明：令f_t=δ（是常數(shù)），將（f_s-δ）看做控制輸入，此時(shí)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣分別為A，b，c，于是，

顯然rankM＝3，rankN＝3，結(jié)論成立。

4 工程中不確定性影響的仿真分析

由于現(xiàn)場(chǎng)組態(tài)簡(jiǎn)便且參數(shù)整定有很多成熟經(jīng)驗(yàn)的方法，工程上應(yīng)用PI控制算法十分普遍。一個(gè)實(shí)用的問題由此提出：哪一種不確定性對(duì)這個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的影響更大。

通過構(gòu)造一個(gè)采用PI控制算法的仿真實(shí)例對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行分析，控制對(duì)象為結(jié)論4-2中給出的線性系統(tǒng)模型。

設(shè)給定信號(hào)為y_ref，k_p，k_i＞0為常數(shù)，則控制作用為：

 （15）

令代入式（15），有

 （16）

式中：k_p，k_i分別是PI控制的比例系數(shù)與積分系數(shù)。再綜合式（7），得：

 （17）

于是，工程中使用PI算法實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥調(diào)節(jié)氣體壓力以跟蹤一個(gè)給定信號(hào)的問題可以描述為：選擇合適的參數(shù)k_p，k_i＞0，使式（17）中的輸出y_p跟蹤給定y_ref。討論這個(gè)問題時(shí)，式（17）可以很方便地使用SIMULINK仿真。

先構(gòu)造一個(gè)忽略不確定性的模型。假設(shè)式（17）中：

=3.0，給定信號(hào)y_ref為單位階躍函數(shù)。

仿照實(shí)際工程，對(duì)按經(jīng)驗(yàn)的方法進(jìn)行試湊，其中一個(gè)仿真結(jié)果如圖3所示，此時(shí)。

圖3 一個(gè)忽略不確定性的仿真結(jié)果

保持所有參數(shù)不變，使用S函數(shù)模擬PI調(diào)節(jié)過程中出現(xiàn)的不確定性。

首先設(shè)，使系統(tǒng)參數(shù)出現(xiàn)攝動(dòng)，得到的仿真如圖4所示。此時(shí)雖然yp出現(xiàn)了較大超調(diào)，但仍能跟蹤y_ref。

圖4 帶參數(shù)攝動(dòng)的仿真結(jié)果

進(jìn)一步將作用在閥芯上的不平衡力f_t引入仿真。設(shè)f_t＝0.2+0.1sint，得到如圖5所示的結(jié)果，此時(shí)輸出y_p按閥芯擾動(dòng)的頻率波動(dòng)。

圖5 帶參數(shù)攝動(dòng)和閥芯擾動(dòng)的仿真結(jié)果

再設(shè)Δb＝0，Δα＝0，得到圖6所示的仿真結(jié)果，此時(shí)輸出y_p仍然按閥芯擾動(dòng)的頻率波動(dòng)。

圖6 帶閥芯擾動(dòng)的仿真結(jié)果

由以上仿真可以看出，使y_p無法跟蹤y_ref的主要原因來自閥芯的擾動(dòng)，而對(duì)于只有參數(shù)攝動(dòng)的系統(tǒng)來說，PI控制具有一定的魯棒性。因此，在使用PI控制算法的實(shí)際工程中，若要滿足較高的控制精度要求，應(yīng)在氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥上增加閥門定位器附件，以減少不平衡力的影響。

5 結(jié)論

氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥用于氣體壓力控制這類控制對(duì)象是一個(gè)典型的非線性滯后系統(tǒng)，以工程實(shí)際為基礎(chǔ)給出假設(shè)并且恰當(dāng)引入不確定性，是對(duì)這類控制對(duì)象進(jìn)行線性系統(tǒng)建模的關(guān)鍵方法。這個(gè)方法不但使建模過程簡(jiǎn)化，而且得到的模型在討論工程問題時(shí)具有實(shí)用性。

結(jié)論2-1和2-2給出了氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥的狀態(tài)空間表達(dá)式和基本性質(zhì)，是對(duì)這類控制對(duì)象建模的基礎(chǔ)，也可以用于其它使用氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥的系統(tǒng)的建模與分析。

結(jié)論4-1、4-2和4-3給出了氣動(dòng)薄膜調(diào)節(jié)閥用于氣體壓力控制這類控制對(duì)象使用工程近似化方法得到的線性系統(tǒng)模型與基本性質(zhì)。通過一個(gè)仿真實(shí)例表明，這些結(jié)論在工程上具有實(shí)用意義。